ملخص
بالإضافة لمحاولة تصحيح بعض التقريبات الفيزيائية الهامة في الدراسات السابقة المتعلقة بالموضوع وأهمها نموذجي إينشتين وديباي للحرارة النوعية، فإنَّ البحثَ مدعومٌ باستخدام أفضل الطرق العددية والإحصائية، للاستكمال والتكامل، وذلك بمساعدة أفضل التقنيات البرمجية الحاسوبية المتوفرة، يهدف للحصول على أدق التقريبات وأقربها للحقائق التجريبية الخاصة بالحرارة النوعية المولية كدالة في درجة الحرارة المطلقة، ثُمَّ استعمال ذلك لإيجاد طاقات الانصهار، طاقات الضخ الحراري من درجة حرارة الصفر المطلق إلى درجة حرارة قبيل بدء الانصهار (العتبة الدنيا للانصهار)، لبعض المواد الشبه الموصلة التي تحتوي على ذرتين في خليتها البدائية، أو تمَّ اعتبارها كذلك للتعميم بالرغم من أنها مكونة من عنصر واحد، والتي تتبلور بهيكل الماس أو شبيهه (F.C.C. متداخل رباعياً)، وذلك لإيجاد دالة دقيقة تربطها بطاقات الارتباط باستخدام الاستكمال العددي الحاسوبي والإحصائي الحاسوبي.إنَّ الهدف الأساسي من البحث هو إيجاد العلاقة التي تربط طاقات الانصهار، حسب ما تمَّ تعريفها في هذا البحث، مع طاقات الارتباط للمواد الصلبة، خاصة لأشباه الموصلات، وكذلك معرفة كيفية تَوَزُّع طاقة الارتباط داخل المادة الصلبة وسلوكها بتغير درجة الحرارة. تمَّ بحمد الله في هذا البحث إيجاد حل رياضي لتكامل دي لوني المستنبط من نظرية ديباي للحرارة النوعية بثبوت الحجم (cv)، حيث كان هذا التكامل من المعضلات التي أعاقت الكثير من البحوث بخصوص المادة الصلبة، وقد تمَّ التأكد بما لا يترك مجالاً للشك أنه فعلاً حلٌّ رياضي صحيح لذلك التكامل. كما توصلت أيضاً في هذا البحث إلى نموذجين للحرارة النوعية المولية كدالة لدرجة الحرارة المطلقة كنتاجٍ لعملي الخاص وهما: النموذج المشترك لفكرتي إينشتين وديباي: وهو نموذج متداول في بعض كتب المواد الصلبة كفكرةٍ لم يَتمّ الخوض فيها ولم يتم استكمالها نظراً لصعوبة إيجاد علاقةٍ بين درجتي الحرارة المميزتين لكل من نظرية إينشتين ونظرية ديباي، وقد تمَّ تبنِّي فكرة نموذج ديباي في الفروع الصوتية وتمَّ تبنِّي فكرة نموذج إينشتين في الفروع الضوئية، وتوصلت إلى نتائج مرضية جداً باستخدام هذا النموذج المشترك أفضلَ مما وصل إليه نموذج ديباي وتبنَّيْتُه كنموذجٍ أساسي للوصول لهدف البحث نظراً لسهولة التعامل معه رياضياً. نموذج الملاءمة التربيعية بترددين زاويين مميزين : في هذا النموذج افترضْتُ أن علاقةَ التشتتِ(Dispersion relation) التي تربط بين العدد الموجي والتردد الزاوي هي متعددةُ حدودٍ من الدرجة الثانية للشق الصوتي وأخرى من الدرجة الثانية أيضاً تختلفُ عن الأولى للشق الضوئي، بدلاً من متعددة حدود من الدرجة الأولى التي سلكها ديباي أو متعددةِ الحدود من الدرجة الصفرية التي اتخذها إينشتين كوسيلة للوصول إلى نتائجهما، وتمَّ في هذا النموذج اتخاذ ترددين زاويين كترددين مميزين، أحدهما للشق الصوتي والآخر للشق الضوئي، كتردد أعظم لكل شقٍّ على حدة، وقد كانت نتائجُ نقاط الحرارة النوعية المولية كدالة في درجة الحرارة المطلقة من هذا النموذج قريبةً جداً من النتائج التجريبية وأدقَّ من نتائجِ كل النماذجِ السابقةِ ابتداءً من نموذج إينشتين ونموذج ديباي إلى النموذج المشترك لفكرتيهما، ولكن تكمن المشكلة الوحيدة به في كثرة حدوده الرياضية والتي تتزايد أكثر بإجراء تكامل الحرارة النوعية المولية، مما يعني أنه لا يزال يحتاج لبعض البحث والتحسين وربما يحتاج لابتكار طرق رياضية جديدة للتعامل معه، ولهذا تَمَّ تَبَنِّي النموذج المشترك لفكرتي إينشتين وديباي لإكمال كل خطوات البحث المتبقية والوصول إلى الهدف المنشود، وتَمَّ تطبيق فكرة البحث على بلورات المواد والعناصر الشبه الموصلة التالية: C (Diamond), Si, Ge, SiC, ZnS, ZnTe, CdS, CdTe. كما استخدمت بلورة NaCl كمادة لمراقبة مدى تماشي فكرة البحث أيضاً مع المواد الغير المعدنية التي ليست من ضمن أشباه الموصلات، واستخدمتُ بلورة النحاس Cu بعد إزالة الشق الخاص بالحرارة النوعية المولية الالكترونية لتقييم مدى تماشي نماذج الحرارة النوعية ونتائج البحث مع المواد المعدنية أيضاً، وذلك لمحاولة تعميم القاعدة على كل المواد الصلبة. وفي خضمِّ سير عملي في البحث، وجدت أنَّه من الضروي إيجاد علاقة بين ثابت قوة هوك بين ذرات الشبيكة البلورية ومتغيرات المادة نظراً لاعتماد نموذج الملاءمة التربيعية عليه، فاضطررت إحصائياً لملاءمة علاقة التردد الزاوي المُعدَّل بالعدد الموجي المُعدَّل للشقِّ الصوتي من علاقة التشتت (dispersion relation) وإيجاد معامل الانحدار لكل مواد عينة البحث وكذلك المادتين الاختباريتين ومقارنتها بعلاقة ديباي الخطية ، فكانت العلاقةُ المستنتجةُ علاقةً دقيقةً جداً بين ثابت القوة المذكور والعوامل الفيزيائية للمادة من معامل مرونة وسرعة الموجة وثابت البعد الذري وغيرها، وهذه العلاقة تعتبر من المكتسبات العلمية للبحث. باستخدام النموذج المشترك لفكرتي إينشتين وديباي للحرارة النوعية، تَمَّ مكاملة الحرارة النوعية المولية على نطاق درجة الحرارة من درجة الصفر المطلق إلى درجة قبيل بدء الانصهار (عتبة الانصهار)، وذلك لإيجاد طاقة الضخ الحراري (طاقة الانصهار) لكل مواد العينة، إذْ وصلتُ لنتيجة أن علاقتها بطاقة الارتباط هي علاقةٌ خطيةٌ لا تمرُّ بنقطة المرجع (0,0)، كما أن نقطتي كلوريد الصوديوم والنحاس، بعد استبعاد المساهمة الالكترونية في الحرارة النوعية، لطاقة الانصهار كدالة في طاقة الارتباط قريبةٌ جداً من الخط المستقيم لتلك العلاقة الخطية، مما يعني وجود جزء من طاقة الارتباط لا يتأثر بتغير درجة الحرارة مهما انخفضت أو ارتفعت، كما لا يتأثر ذلك الجزءُ حتى عند ضخ حرارة إضافية لصهر المادة بالكامل، إذ تبيَّنَ وجود علاقة بين الحرارة اللازمة للصهر وكل من طاقة الانصهار وطاقة الارتباط، وهذه العلاقة تتماشى مع كل أشباه الموصلات الصَّلبة وتتماشى مع المواد الصلبة غير المعدنية بدقة جيدة جداً وتتماشى أيضاً مع المواد المعدنية بدقة جيدة، وبالتالي بمعرفة طاقة الارتباط نستطيع معرفة طاقة الانصهار والعكس صحيح لأجل كل المواد الصلبة، خاصة غير المعدنية منها، وهذا مرتبط بعدة مجالات يمكن الاستفادة منه فيها كإيجاد علاقة طاقة الارتباط بتغير درجة الحرارة وإيجاد علاقة نقاط الانصهار للمواد بخواصها الفيزيائية. إنَّ جزء الطاقة الذي يبقى ثابتاً بارتفاع درجة الحرارة وبتغير الطور قد يفيد أنَّه هو آخر قيمة للطاقة تبقى دون تغيُّرٍ حتى بدء تفكك الذرات عن بعضها البعض بالكامل، وقد يكون هذا نوعاً جديداً من أنواع الطاقة مرتبطاً بمفهوم فيزيائي يحتاج للتفسير، وهذا يفتح مجالاً واسعاً للمناقشة العلمية والمزيد من التحليل الفيزيائي والرياضي.
Abstract
The main objective of this research is to find a mathematical relation connecting the energies of sub–fusion heat pumping (from zero Kelvin temperature to the minimum threshold of fusion temperature) and the cohesive energies with the help of MatLab and Visual Basic computer programs for the following semiconductors: C (Diamond), Si, Ge, SiC, ZnS, ZnTe, CdS and CdTe. In order to reach the main target of this study, some physical approximations in previous studies relating to molar specific heat cv have been corrected. So, I have proposed two new models for cv as a function of absolute temperature: Mixed Einstein – Debye notions model: in this model, we have adopted Debye's model notion for the acoustic branches of the dispersion relation and Einstein's model notion for its optical branches. This has led us to constructing a new model, which turned out to be more satisfactory than Debye's model alone, so, it has been chosen to pursue the steps of this research. Quadratic fitting model: in this new model, it has been assumed that the dispersion relation is composed of two different polynomials of second degree, one for the acoustic branch and another for the optical branch, with a maximum distinct frequency for each branch. The obtained results of this model have showed more accuracy than all previous models, however, the former model has been preferred because of the ease of its mathematics compared with this model. As an attempt to generalize the scientific base of this work for other solids, NaCl and Cu (after removing the electronic contribution to CV) have been included. I have obtained the exact analytical solution for Debye's integration for specific heat cv and the results turned out to be in full agreement with the experimental data available. Moreover, a mathematical relation has been derived for Hooke's force constant between atoms and both the bulk modulus and atomic distance by using linear statistical fitting. This study has amounted to a result that the relation between sub–fusion heat pumping and cohesive energy is not only linear, but also does not pass through the origin (0,0), i.e. having a portion of the cohesive energy not being affected by either changing the temperature or pumping additional heat to melt the entire matter. We believe that the unchanged part indicates that it is the last value of cohesive energy remains unchanged until the beginning of complete atomic disintegration, which is probably a new type of energy associated with unknown physical concepts that need to be confirmed in future.