Abstract
لعلاقة التكافؤ استخدامات كثيرة و هامة في تطور الرياضيات . منها ما هو معروف و منها ما يستخدم في أبحاث و دراسات جديدة. علاقة تكافؤ هي علاقة تقسم مجموعة ما، إلى عدد من المجموعات الجزئية حيث يصير كل عنصر من المجموعة الأصلية عنصرا من مجموعة جزئية واحدة بالتحديد (أي أنه لا يمكن أن ينتمي إلى مجموعتين جزئيتين اثنتين في نفس الوقت، أو أنه لا ينتمي إلي إي من هذه المجموعات). يعتبر عنصران من المجموعة متكافئين إذا وإذا فقط انتميا إلى نفس المجموعة الجزئية. تهدف هذه الدراسة لابراز بعض تطبيقات علاقات التكافؤ في مجالات هامة مثل تطوير فضاء نصف متري (نصف نظيمي) الي فضاء متري (نظيمي) وكذلك بعض استخدامات علاقات التكافؤ في نظرية القياس لا سيما في تعريف فضاءات هامة مثل فضاء L^p. وهذا بالإضافة إلي تطبيقات هامة في الجبر بالأخص في نظرية الزمر و المصفوفات. و كذلك في المعلوماتية كإستخدامها في تكوين المجموعة الخشنة. و تكمن أهمية علاقات التكافؤ في كونها حلا لبعض مشاكل الرياضيات لأنها تضع جميع النقاط المسببة للمشاكل في مجموعة واحدة و يتم التعامل مع هذه المجموعة كنقطة واحدة مثل الفضاءات المترية (النظيمية) غير التامة و تحويلها إلي تامة بإستخدام علاقات التكافؤ.